Birkaç değişkenli karmaşık bir fonksiyonun türevi ve diferansiyeli. Birkaç değişkenli bir fonksiyon için kısmi türevler Birkaç değişkenli karmaşık bir fonksiyonun ikinci türevi

İki değişkenli bir fonksiyon düşünün:

$ x $ ve $ y $ değişkenleri bağımsız olduğundan, böyle bir fonksiyon için kısmi türev kavramını tanıtabilirsiniz:

$ f $ fonksiyonunun $ M = \ left (((x) _ (0)); ((y) _ (0)) \ right) $ noktasında $ x $ değişkenine göre kısmi türevi sınır

\ [(((f) ") _ (x)) = \ underset (\ Delta x \ ila 0) (\ mathop (\ lim)) \, \ frac (f \ sol (((x) _ (0)) ) + \ Delta x; ((y) _ (0)) \ sağ)) (\ Delta x) \]

Benzer şekilde, $ y $ değişkenine göre kısmi türevi tanımlayabilirsiniz:

\ [(((f) ") _ (y)) = \ underset (\ Delta y \ ila 0) (\ mathop (\ lim)) \, \ frac (f \ sol (((x) _ (0)) ); ((y) _ (0)) + \ Delta y \ sağ)) (\ Delta y) \]

Başka bir deyişle, birkaç değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevini bulmak için, istenen değişken hariç diğer tüm değişkenleri düzeltmeniz ve ardından bu istenen değişkene göre olağan türevi bulmanız gerekir.

Bu, bu tür türevleri hesaplamanın ana püf noktasını ima eder: sadece verilen dışındaki tüm değişkenlerin sabit olduğunu varsayın ve ardından işlevi, "sıradan" olanı - bir değişkenle - türevini alacağınız gibi türevlendirin. Örneğin:

$ \ başla (hizala) & ((\ sol (((x) ^ (2)) + 10xy \ sağ)) _ (x)) ^ (\ asal) = ((\ sol ((x) ^ (2) )) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) + 10y \ cdot ((\ sol (x \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = 2x + 10y, \\ & (( \ sol (((x) ^ (2)) + 10xy \ sağ)) _ (y)) ^ (\ asal) = ((\ sol (((x) ^ (2)) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) + 10x \ cdot ((\ sol (y \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = 0 + 10x = 10x. \\\ bitiş (hizalama) $

Açıkçası, farklı değişkenlere göre kısmi türevler farklı cevaplar verir - bu normaldir. Diyelim ki, ilk durumda, türev işaretinden neden 10y $'ı sakince çıkardığımızı ve ikincisinde ilk terimi tamamen sıfırladığımızı anlamak çok daha önemlidir. Bütün bunlar, farklılaşmanın gerçekleştiği değişken dışındaki tüm harflerin sabit olarak kabul edilmesi nedeniyle olur: çıkarılabilir, "yakılabilir", vb.

"Kısmi türev" nedir?

Bugün birkaç değişkenli fonksiyonlar ve bunların kısmi türevleri hakkında konuşacağız. İlk olarak, çok değişkenli bir fonksiyon nedir? Şimdiye kadar bir fonksiyonu $ y \ left (x \ right) $ veya $ t \ left (x \ sağ) $ veya herhangi bir değişken ve ondan tek bir fonksiyon olarak düşünürdük. Şimdi bir fonksiyonumuz ve birkaç değişkenimiz olacak. $ y $ ve $ x $ değiştiğinde, fonksiyonun değeri değişecektir. Örneğin, $ x $ iki katına çıkarsa fonksiyonun değeri değişirken, $ x $ değişir ama $ y $ değişmezse fonksiyonun değeri de aynı şekilde değişir.

Elbette, birkaç değişkenli bir fonksiyon, tıpkı bir değişkenli fonksiyon gibi, türevlenebilir. Ancak birden fazla değişken olduğu için farklı değişkenlere göre farklılaşmak mümkündür. Bu, bir değişkeni ayırt ederken var olmayan belirli kurallara yol açar.

Her şeyden önce, herhangi bir değişkenden bir fonksiyonun türevini saydığımızda, türevi hangi değişkenle saydığımızı belirtmeliyiz - buna kısmi türev denir. Örneğin, iki değişkenli bir fonksiyonumuz var ve bunu hem $ x $ hem de $ y $ - değişkenlerin her birinin iki kısmi türevi ile hesaplayabiliriz.

İkinci olarak, değişkenlerden birini sabitleyip ona göre kısmi türevi saymaya başlar başlamaz, bu fonksiyona dahil olan diğerlerinin tümü sabit olarak kabul edilir. Örneğin, $ z \ left (xy \ right) $'da, $ x $'a göre kısmi türevi sayarsak, o zaman $ y $ ile nerede buluşursak, onu bir sabit olarak ele alır ve tam olarak bir sabit gibi ele alırız. Özellikle, bir çarpımın türevini hesaplarken, parantezin dışına $ y $ koyabiliriz (bir sabitimiz var) ve bir toplamın türevini hesaplarken, $ y $ içeren bir ifadeden bir yerde türev alırsak ve $ x $ içermiyorsa, bu ifadenin türevi sabitin türevi olarak "sıfır"a eşit olacaktır.

İlk bakışta zor bir şeyden bahsediyormuşum gibi görünebilir ve ilk başta birçok öğrencinin kafası karışır. Bununla birlikte, kısmi türevlerde doğaüstü hiçbir şey yoktur ve şimdi buna belirli problemler örneğiyle ikna olacağız.

Radikaller ve Polinomlarla İlgili Problemler

1 numaralı sorun

Boş yere vakit kaybetmemek için en baştan ciddi örneklerle başlayalım.

Başlangıç ​​olarak, size aşağıdaki formülü hatırlatmama izin verin:

Bu, standart kurstan bildiğimiz standart tablo değeridir.

Bu durumda, $ z $ türevi aşağıdaki gibi hesaplanır:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ sol (\ sqrt (\ frac (y) (x)) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = \ frac ( 1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) ((\ sol (\ frac (y) (x) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) \]

Kök $ x $ değil, başka bir ifade olduğu için tekrar yapalım. bu durumda$ \ frac (y) (x) $, sonra önce standart tablo değerini kullanacağız ve sonra, kök $ x $ değil, başka bir ifade olduğundan, türevimizi bu ifadenin bir başkasıyla çarpmamız gerekiyor. aynı değişken. Aşağıdakileri hesaplayarak başlayalım:

\ [(\ sol (\ frac (y) (x) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = \ frac (((((y) ")) _ (x)) \ cdot xy \ cdot ((((x) ")) _ (x))) (((x) ^ (2))) = \ frac (0 \ cdot xy \ cdot 1) (((x) ^ (2)) ) = - \ frak (y) (((x) ^ (2))) \]

İfademize dönüyoruz ve şunu yazıyoruz:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ sol (\ sqrt (\ frac (y) (x)) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = \ frac ( 1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) ((\ sol (\ frac (y) (x) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = \ frac (1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) \ cdot \ sol (- \ frac (y) (((x) ^ (2))) \ sağ) \]

Temel olarak, hepsi bu. Ancak, onu bu şekilde bırakmak yanlıştır: böyle bir yapı daha sonraki hesaplamalar için uygun değildir, o yüzden biraz dönüştürelim:

\ [\ frak (1) (2 \ sqrt (\ frak (y) (x))) \ cdot \ sol (- \ frak (y) (((x) ^ (2))) \ sağ) = \ frak (1) (2) \ cdot \ sqrt (\ frac (x) (y)) \ cdot \ frac (y) (((x) ^ (2))) = \]

\ [= - \ frak (1) (2) \ cdot \ sqrt (\ frak (x) (y)) \ cdot \ sqrt (\ frak (((y) ^ (2))) (((x) ^ (4)))) = - \ frac (1) (2) \ sqrt (\ frac (x \ cdot ((y) ^ (2))) (y \ cdot ((x) ^ (4)))) = - \ frac (1) (2) \ sqrt (\ frac (y) (((x) ^ (3)))) \]

Cevap bulundu. Şimdi $ y $ ile ilgilenelim:

\ [(((z) ") _ (y)) = ((\ sol (\ sqrt (\ frac (y) (x)) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = \ frac ( 1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) \ cdot ((\ sol (\ frac (y) (x) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) \]

Ayrı ayrı yazalım:

\ [(\ sol (\ frac (y) (x) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = \ frac (((((y) ")) _ (y)) \ cdot xy \ cdot ((((x) ")) _ (y))) (((x) ^ (2))) = \ frac (1 \ cdot xy \ cdot 0) (((x) ^ (2)) ) = \ frak (1) (x) \]

Şimdi yazıyoruz:

\ [(((z) ") _ (y)) = ((\ sol (\ sqrt (\ frac (y) (x)) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = \ frac ( 1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) \ cdot ((\ sol (\ frac (y) (x) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = \ frac ( 1) (2 \ sqrt (\ frak (y) (x))) \ cdot \ frak (1) (x) = \]

\ [= \ frak (1) (2) \ cdot \ sqrt (\ frak (x) (y)) \ cdot \ sqrt (\ frak (1) (((x) ^ (2)))) = \ frak (1) (2) \ sqrt (\ frak (x) (y \ cdot ((x) ^ (2)))) = \ frak (1) (2 \ sqrt (xy)) \]

Tamamlandı.

Sorun numarası 2

Bu örnek öncekinden hem daha basit hem de daha karmaşıktır. Daha zor çünkü burada daha fazla eylem var, ama daha kolay çünkü burada kök yok ve ayrıca fonksiyon $ x $ ve $ y $'a göre simetriktir, yani. $ x $ ve $ y $ yerlerini değiştirirsek formül değişmez. Bu açıklama, kısmi türevin hesaplanmasını daha da basitleştirecektir, yani. bunlardan birini saymak yeterlidir ve ikincisinde sadece $ x $ ve $ y $ değiştirin.

Gelelim işe:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ sol (\ frac (xy) (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1) \ sağ )) ^ (\ asal)) _ (x) = \ frac (((\ sol (xy \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) \ sol (((x) ^ (2)) + ( (y) ^ (2)) + 1 \ sağ) -xy ((\ sol ((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ sağ)) ^ (\ asal) ) _ (x)) (((\ sol ((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ sağ)) ^ (2))) \]

Sayalım:

\ [(\ sol (xy \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = y \ cdot ((\ sol (x \ sağ)) ^ (\ asal)) = y \ cdot 1 = y \ ]

Ancak, birçok öğrenci böyle bir kaydı anlamaz, bu yüzden şöyle yazacağız:

\ [(\ sol (xy \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = ((\ sol (x \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) \ cdot y + x \ cdot ((\ sol (y \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = 1 \ cdot y + x \ cdot 0 = y \]

Böylece kısmi diferansiyel algoritmanın evrenselliğine bir kez daha ikna olmuş durumdayız: Nasıl sayarsak sayalım, tüm kurallar doğru uygulanırsa cevap aynı olacaktır.

Şimdi büyük formülümüzden başka bir kısmi türevle ilgilenelim:

\ [(\ sol ((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = ((\ sol ((( x) ^ (2)) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) + ((\ sol (((y) ^ (2)) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) + (((1) ") _ (x)) = 2x + 0 + 0 \]

Elde edilen ifadeleri formülümüzle değiştirin ve şunu elde edin:

\ [\ frac (((\ sol (xy \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) \ sol (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ sağ) -xy ((\ sol (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x)) (((\ sol (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ sağ)) ^ (2))) = \]

\ [= \ frac (y \ cdot \ sol (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ sağ) -xy \ cdot 2x) (((\ sol ((( x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ sağ)) ^ (2))) = \]

\ [= \ frac (y \ sol (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1-2 ((x) ^ (2)) \ sağ)) (((\ sol (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ sağ)) ^ (2))) = \ frac (y \ sol (((y) ^ (2)) - ((x) ^ (2)) + 1 \ sağ)) (((\ sol ((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ sağ)) ^ (2 ))) \]

$ X $ hesaplanır. Ve aynı ifadeden $ y $ hesaplamak için, aynı işlem dizisini gerçekleştirmeyelim, orijinal ifademizin simetrisini kullanalım - orijinal ifademizdeki tüm $ y $'ları $ x $ ile değiştireceğiz ve bunun tersi de geçerlidir. :

\ [(((z) ") _ (y)) = \ frac (x \ sol (((x) ^ (2)) - ((y) ^ (2)) + 1 \ sağ)) ((( \ sol (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ sağ)) ^ (2))) \]

Simetri nedeniyle bu ifadeyi çok daha hızlı hesapladık.

Çözüm nüansları

Kısmi türevler için, sıradan türevler için kullandığımız tüm standart formüller, yani bölümün türevi çalışır. Ancak bu durumda bazı özel özellikler vardır: $ x $ kısmi türevini sayarsak, o zaman onu $ x $'dan aldığımızda, onu bir sabit olarak kabul ederiz ve bu nedenle türevi "sıfır" olur. ".

Adi türevlerde olduğu gibi, bölüm (bir ve aynı) birkaç olarak sayılabilir. Farklı yollar... Örneğin, az önce hesapladığımız aynı yapı aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

\ [(\ sol (\ frac (y) (x) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = y \ cdot ((\ sol (\ frac (1) (x) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = - y \ frak (1) (((x) ^ (2))) \]

\ [(\ sol (xy \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = y \ cdot (((x) ") _ (x)) = y \ cdot 1 = y \]

Bununla birlikte, toplamın türevinden formülü kullanabilirsiniz. Bildiğimiz gibi, türevlerin toplamına eşittir. Örneğin, aşağıdakileri yazalım:

\ [(\ sol ((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = 2x + 0 + 0 = 2x \]

Şimdi, tüm bunları bilerek, daha ciddi ifadelerle çalışmaya çalışalım, çünkü gerçek kısmi türevler sadece polinomlar ve köklerle sınırlı değildir: trigonometri, logaritma ve üstel fonksiyon burada bulunabilir. Şimdi bunu yapacağız.

Trigonometrik fonksiyonlar ve logaritma ile ilgili problemler

1 numaralı sorun

Aşağıdaki standart formülleri yazalım:

\ [(\ sol (\ sqrt (x) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \]

\ [((\ sol (\ cos x \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = - \ günah x \]

Bu bilgiyle donanmış olarak, çözmeye çalışalım:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ sol (\ sqrt (x) \ cdot \ cos \ frac (x) (y) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x ) = ((\ sol (\ sqrt (x) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) \ cdot \ cos \ frac (x) (y) + \ sqrt (x) \ cdot ((\ sol (\ cos \ frac (x) (y) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = \]

Bir değişkeni ayrı ayrı yazalım:

\ [(\ sol (\ cos \ frac (x) (y) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = - \ sin \ frac (x) (y) \ cdot ((\ sol ( \ frac (x) (y) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = - \ frac (1) (y) \ cdot \ günah \ frac (x) (y) \]

Tasarımımıza geri dönelim:

\ [= \ frak (1) (2 \ sqrt (x)) \ cdot \ cos \ frak (x) (y) + \ sqrt (x) \ cdot \ sol (- \ frak (1) (y) \ cdot \ sin \ frak (x) (y) \ sağ) = \ frak (1) (2 \ sqrt (x)) \ cdot \ cos \ frak (x) (y) - \ frak (\ sqrt (x)) ( y) \ cdot \ günah \ frak (x) (y) \]

İşte bu, $ x $ bulduk, şimdi $ y $ hesaplamasına geçelim:

\ [(((z) ") _ (y)) = ((\ sol (\ sqrt (x) \ cdot \ cos \ frac (x) (y) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y ) = ((\ sol (\ sqrt (x) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) \ cdot \ cos \ frac (x) (y) + \ sqrt (x) \ cdot ((\ sol (\ cos \ frac (x) (y) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = \]

Yine, bir ifadeyi hesaplayalım:

\ [(\ sol (\ cos \ frac (x) (y) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = - \ sin \ frac (x) (y) \ cdot ((\ sol ( \ frac (x) (y) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = - \ günah \ frac (x) (y) \ cdot x \ cdot \ sol (- \ frac (1) (( (y) ^ (2))) \ sağ) \]

Orijinal ifadeye dönüyoruz ve çözüme devam ediyoruz:

\ [= 0 \ cdot \ cos \ frak (x) (y) + \ sqrt (x) \ cdot \ frak (x) (((y) ^ (2))) \ günah \ frak (x) (y) = \ frac (x \ sqrt (x)) (((y) ^ (2))) \ cdot \ sin \ frac (x) (y) \]

Tamamlandı.

Sorun numarası 2

İhtiyacımız olan formülü yazalım:

\ [((\ sol (\ ln x \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = \ frac (1) (x) \]

Şimdi $ x $ ile sayalım:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ sol (\ ln \ sol (x + \ ln y \ sağ) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = \ frac ( 1) (x + \ ln y). ((\ Sol (x + \ ln y \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = \]

\ [= \ frak (1) (x + \ ln y) \ cdot \ sol (1 + 0 \ sağ) = \ frak (1) (x + \ ln y) \]

$ x $ ile bulundu. $ y $ ile sayarız:

\ [(((z) ") _ (y)) = ((\ sol (\ ln \ sol (x + \ ln y \ sağ) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = \ frac ( 1) (x + \ ln y). ((\ Sol (x + \ ln y \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = \]

\ [= \ frak (1) (x + \ ln y) \ sol (0+ \ frak (1) (y) \ sağ) = \ frak (1) (y \ sol (x + \ ln y \ sağ) ) \ ]

Problem çözüldü.

Çözüm nüansları

Dolayısıyla, kısmi türevi hangi fonksiyondan alırsak alalım, trigonometriyle mi, köklerle mi yoksa logaritmalarla mı çalıştığımıza bakılmaksızın kurallar aynı kalır.

Standart türevlerle çalışmanın klasik kuralları, yani toplam ve farkın türevi, bölüm ve karmaşık fonksiyonlar gibi değişmeden kalır.

Son formüle en çok kısmi türevlerle ilgili problemler çözülürken rastlanır. Onlarla hemen hemen her yerde karşılaşıyoruz. Henüz tek bir sorun çıkmadı, orada da rastlamayalım. Ancak hangi formülü kullanırsak kullanalım yine de bize bir gereksinim daha ekleniyor, yani kısmi türevlerle çalışma özelliği. Bir değişkeni düzelttiğimizde, diğerleri sabittir. Özellikle, $ \ cos \ frac (x) (y) $ ifadesinin $ y $'a göre kısmi türevini düşünürsek, o zaman $ y $ değişkendir ve $ x $ her yerde sabit kalır. Aynı şey tam tersi şekilde çalışır. Türevin işaretinin dışına alınabilir ve sabitin türevi "sıfır"a eşit olacaktır.

Bütün bunlar, aynı ifadenin kısmi türevlerinin, ancak farklı değişkenler için tamamen farklı görünebileceği gerçeğine yol açar. Örneğin, aşağıdaki ifadeleri görelim:

\ [((\ sol (x + \ ln y \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = 1 + 0 = 1 \]

\ [(\ sol (x + \ ln y \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = 0 + \ frak (1) (y) = \ frak (1) (y) \]

Üstel fonksiyonlar ve logaritmalarla ilgili problemler

1 numaralı sorun

İlk önce aşağıdaki formülü yazalım:

\ [(\ sol (((e) ^ (x)) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = ((e) ^ (x)) \]

Bu gerçeği bilerek, karmaşık bir fonksiyonun türevinin yanı sıra hesaplamaya çalışalım. Şimdi iki farklı şekilde çözeceğim. İlk ve en bariz olanı, çalışmanın türevidir:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ sol (((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ sağ) ) ^ (\ asal)) _ (x) = ((\ sol (((e) ^ (x)) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((\ sol (((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ sağ)) ^ (\ asal) ) _ (x) = \]

\ [= ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ cdot ((\ sol (\ frac (x) (y) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = \]

Aşağıdaki ifadeyi ayrı ayrı çözelim:

\ [(\ sol (\ frac (x) (y) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = \ frac (((((x) ")) _ (x)) \ cdot yx ((((y) ")) _ (x))) (((y) ^ (2))) = \ frac (1 \ cdot yx \ cdot 0) (((y) ^ (2))) = \ frak (y) (((y) ^ (2))) = \ frak (1) (y) \]

Orijinal tasarımımıza geri dönüp çözümle devam ediyoruz:

\ [= ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ cdot \ frac (1) (y) = ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ sol (1 + \ frak (1) (y) \ sağ) \]

Her şey, $ x $ hesaplanır.

Ancak söz verdiğim gibi şimdi aynı kısmi türevi farklı bir şekilde hesaplamaya çalışacağız. Bunu yapmak için aşağıdakilere dikkat edin:

\ [((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) = ((e) ^ (x + \ frac (x) (y))) \]

Bunun içinde şöyle yazıyoruz:

\ [(\ sol ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = ( (\ sol (((e) ^ (x + \ frac (x) (y))) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = ((e) ^ (x + \ frac (x) (y ))) \ cdot ((\ sol (x + \ frac (x) (y) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = ((e) ^ (x + \ frac (x) (y)) ) \ cdot \ sol (1+ \ frak (1) (y) \ sağ) \]

Sonuç olarak, tamamen aynı cevabı aldık, ancak hesaplama miktarının daha az olduğu ortaya çıktı. Bunu yapmak için, üretim sırasında göstergelerin eklenebileceğini fark etmek yeterliydi.

Şimdi $ y $ ile sayalım:

\ [(((z) ") _ (y)) = ((\ sol (((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ sağ) ) ^ (\ asal)) _ (y) = ((\ sol ((e) ^ (x)) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((\ sol (((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ sağ)) ^ (\ asal) ) _ (y) = \]

\ [= 0 \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ cdot ((\ sol (\ frac (x) (y) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = \]

Bir ifadeyi ayrı ayrı çözelim:

\ [(\ sol (\ frac (x) (y) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = \ frac (((((x) ")) _ (y)) \ cdot yx \ cdot ((((y) ")) _ (y))) (((y) ^ (2))) = \ frac (0-x \ cdot 1) (((y) ^ (2))) = - \ frak (1) (((y) ^ (2))) = - \ frak (x) (((y) ^ (2))) \]

Özgün tasarımımızla devam edelim:

\ [= ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ cdot \ sol (- \ frac (x) (((y) ^ (2)) )) \ sağ) = - \ frac (x) (((y) ^ (2))) \ cdot ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y) )) \]

Elbette aynı türev ikinci şekilde de hesaplanabilirdi, cevap aynı olurdu.

Sorun numarası 2

$ x $ ile sayalım:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ sol (x \ sağ)) _ (x)) \ cdot \ ln \ sol (((x) ^ (2)) + y \ sağ ) + x \ cdot ((\ sol (\ ln \ sol (((x) ^ (2)) + y \ sağ) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = \]

Bir ifadeyi ayrı ayrı sayalım:

\ [(\ sol (\ ln \ sol (((x) ^ (2)) + y \ sağ) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = \ frac (1) (((x) ) ^ (2)) + y) \ cdot ((\ sol ((x) ^ (2)) + y \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = \ frac (2x) ((( x) ^ (2)) + y) \]

Orijinal yapıyı çözmeye devam edelim: $$

İşte cevap.

$ y $ ile bulmak analojiyle kalır:

\ [(((z) ") _ (y)) = ((\ sol (x \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y). \ ln \ sol (((x) ^ (2)) + y \ sağ) + x \ cdot ((\ sol (\ ln \ sol (((x) ^ (2)) + y \ sağ) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = \]

Her zaman olduğu gibi bir ifadeyi ayrı ayrı hesaplayalım:

\ [(\ sol ((x) ^ (2)) + y \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = ((\ sol (((x) ^ (2)) \ sağ) ) ^ (\ asal)) _ (y) + (((y) ") _ (y)) = 0 + 1 = 1 \]

Temel yapıyı çözmeye devam ediyoruz:

Her şey sayılır. Görüldüğü gibi farklılaşma için hangi değişkenin alındığına bağlı olarak cevaplar tamamen farklıdır.

Çözüm nüansları

İşte aynı fonksiyonun türevinin iki farklı şekilde nasıl hesaplanabileceğine dair en iyi örnek. Buraya bak:

\ [(((z) ") _ (x)) = \ sol (((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ sağ) = ( (\ sol (((e) ^ (x)) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((\ sol (((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = \]

\ [= ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ cdot \ frac (1) (y) = ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (^ (\ frac (x) (y)))) \ sol (1+ \ frak (1) (y) \ sağ) \]

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ sol (((e) ^ (x))). ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = ((\ sol (((e) ^ (x + \ frac (x) (y))) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = ( ( e) ^ (x + \ frak (x) (y))). ((\ sol (x + \ frak (x) (y) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = \]

\ [= ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (^ (\ frak (x) (y)))) \ sol (1+ \ frak (1) (y) \ sağ) \ ]

Farklı yollar seçerken, hesaplama miktarı farklı olabilir, ancak her şey doğru yapılırsa cevap aynı olacaktır. Bu hem klasik hem de kısmi türevler için geçerlidir. Aynı zamanda bir kez daha hatırlatıyorum: türevin hangi değişkenle alındığına bağlı olarak, yani. farklılaşma, cevap tamamen farklı olabilir. Bir göz at:

\ [(\ sol (\ ln \ sol (((x) ^ (2)) + y \ sağ) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = \ frac (1) (((x) ) ^ (2)) + y) \ cdot ((\ sol ((x) ^ (2)) + y \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = \ frac (1) ((( x) ^ (2)) + y) \ cdot 2x \]

\ [(\ sol (\ ln \ sol (((x) ^ (2)) + y \ sağ) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = \ frac (1) (((x) ) ^ (2)) + y) \ cdot ((\ sol ((x) ^ (2)) + y \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = \ frac (1) ((( x) ^ (2)) + y) \ cdot 1 \]

Sonuç olarak, tüm bu materyali birleştirmek için iki örnek daha saymaya çalışalım.

Üç değişkenli trigonometrik fonksiyon ve fonksiyon ile ilgili problemler

1 numaralı sorun

Bu formülleri yazalım:

\ [(\ sol (((a) ^ (x)) \ sağ)) ^ (\ asal)) = ((a) ^ (x)) \ cdot \ ln a \]

\ [(\ sol (((e) ^ (x)) \ sağ)) ^ (\ asal)) = ((e) ^ (x)) \]

Şimdi ifademizi çözelim:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ sol (((3) ^ (x \ günah y)) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = ((3 ) ^ (x. \ sin y)) \ cdot \ ln 3 \ cdot ((\ sol (x \ cdot \ sin y \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = \]

Aşağıdaki yapıyı ayrı ayrı hesaplayalım:

\ [(\ sol (x \ cdot \ günah y \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = (((x) ") _ (x)) \ cdot \ günah y + x ((\ sol (\ günah y \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = 1 \ cdot \ günah y + x \ cdot 0 = \ günah y \]

Orijinal ifadeyi çözmeye devam ediyoruz:

\ [= ((3) ^ (x \ günah y)) \ cdot \ ln 3 \ cdot \ günah y \]

Bu, $ x $ private değişkeninin son cevabıdır. Şimdi $ y $ ile sayalım:

\ [(((z) ") _ (y)) = ((\ sol ((3) ^ (x \ günah y)) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = ((3 ) ^ (x \ sin y)) \ cdot \ ln 3 \ cdot ((\ sol (x \ sin y \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = \]

Bir ifadeyi ayrı ayrı çözelim:

\ [(\ sol (x \ cdot \ günah y \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = (((x) ") _ (y)) \ cdot \ günah y + x ((\ sol (\ günah y \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = 0 \ cdot \ günah y + x \ cdot \ cos y = x \ cdot \ cos y \]

Tasarımımızı sonuna kadar çözüyoruz:

\ [= ((3) ^ (x \ cdot \ günah y)) \ cdot \ ln 3 \ cdot x \ cos y \]

Sorun numarası 2

İlk bakışta, bu örnek oldukça karmaşık görünebilir, çünkü üç değişken vardır. Aslında bu, günümüzün video eğitimindeki en kolay görevlerden biridir.

$ x $ bulun:

\ [(((t) ") _ (x)) = ((\ sol (x ((e) ^ (y)) + y ((e) ^ (z)) \ sağ)) ^ (\ asal) ) _ (x) = ((\ sol (x \ cdot ((e) ^ (y)) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) + ((\ sol (y \ cdot ((e))) ^ (z)) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = \]

\ [= ((\ sol (x \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) \ cdot ((e) ^ (y)) + x \ cdot ((\ sol ((e) ^ (y) )) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (x) = 1 \ cdot ((e) ^ (y)) + x \ cdot o = ((e) ^ (y)) \]

Şimdi $ y $ ile ilgilenelim:

\ [(((t) ") _ (y)) = ((\ sol (x \ cdot ((e) ^ (y)) + y \ cdot ((e) ^ (z)) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = ((\ sol (x \ cdot ((e) ^ (y)) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) + ((\ sol (y \ cdot) ((e) ^ (z)) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = \]

\ [= x \ cdot ((\ sol ((e) ^ (y)) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) + ((e) ^ (z)) \ cdot ((\ sol (y \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (y) = x \ cdot ((e) ^ (y)) + ((e) ^ (z)) \]

Cevabı bulduk.

Şimdi $ z $ ile bulmaya devam ediyor:

\ [(((t) ") _ (z)) = ((\ sol (x \ cdot ((e) ^ (y)) + ((y) ^ (z)) \ sağ)) ^ (\ asal )) _ (z) = ((\ sol (x \ cdot ((e) ^ (y)) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (z) + ((\ sol (y \ cdot ((e)) ) ^ (z)) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (z) = 0 + y \ cdot ((\ sol (((e) ^ (z)) \ sağ)) ^ (\ asal)) _ (z) = y \ cdot ((e) ^ (z)) \]

İkinci problemin çözümünü tamamlayan üçüncü türevi hesapladık.

Çözüm nüansları

Gördüğünüz gibi, bu iki örnekte karmaşık bir şey yok. İnandığımız tek şey, karmaşık bir fonksiyonun türevinin sıklıkla kullanıldığı ve hangi kısmi türevi saydığımıza bağlı olarak farklı cevaplar aldığımızdır.

Son görevde, aynı anda üç değişkenli bir fonksiyonla ilgilenmemiz istendi. Bunda yanlış bir şey yok, ancak en sonunda hepsinin birbirinden önemli ölçüde farklı olduğundan emin olduk.

Anahtar noktaları

Bugünkü video eğitiminden elde edilen nihai sonuçlar aşağıdaki gibidir:

1. Kısmi türevler sıradan türevlerle aynı şekilde sayılırken, bir değişkene göre kısmi türev düşünmek için bu fonksiyona dahil olan diğer tüm değişkenleri sabitler olarak alıyoruz.
2. Kısmi türevlerle çalışırken, sıradan türevlerle aynı standart formülleri kullanırız: toplam, fark, çarpım ve bölümün türevi ve elbette karmaşık bir fonksiyonun türevi.

Tabii ki, bu video dersini tek başına izlemek bu konuyu tam olarak anlamak için yeterli değil, bu yüzden şu anda bu video için web sitemde bugünün konusuna ayrılmış bir dizi görev var - girin, indirin, bu sorunları çözün ve kontrol edin. Cevap. Ve bundan sonra, ne sınavlarda ne de sınavlarda kısmi türevlerle ilgili sorun yok. bağımsız iş yapmayacaksın. Tabii ki, bu yüksek matematikteki son dersten çok uzak, bu yüzden web sitemizi ziyaret edin, VKontakte ekleyin, YouTube'a abone olun, beğenin ve bizimle kalın!

Karmaşık fonksiyonları ayırt etme

fonksiyon için izin ver n- değişkenler argümanları da değişkenlerin fonksiyonlarıdır:

Bileşik bir fonksiyonun türeviyle ilgili aşağıdaki teorem doğrudur.

Teorem 8. Fonksiyonlar bir noktada türevlenebilirse ve fonksiyon karşılık gelen noktada türevlenebilirse, burada,. Daha sonra karmaşık fonksiyon noktada türevlenebilir ve kısmi türevler formüllerle belirlenir.

burada kısmi türevler bir noktada hesaplanır ve bir noktada hesaplanır.

ƒ Bu teoremi iki değişkenli bir fonksiyon için ispatlayalım. İzin ver.

Argümanların ve noktasında keyfi artışlara izin verin. Fonksiyonların artışlarına ve noktada karşılık gelirler. Artışlar ve noktadaki fonksiyonun artışına karşılık gelir. Bir noktada türevlenebilir olduğundan, artımı şu şekilde yazılabilir:

nerede ve noktasında hesaplanır, ve için. Fonksiyonların türevlenebilirliği nedeniyle ve bu noktada şunu elde ederiz:

noktada nerede hesaplanır; ...

(14)'ü (13) ile değiştirin ve terimleri yeniden düzenleyin

Şu andan itibaren ve sıfır olma eğiliminde olduğuna dikkat edin. Bu, ve'de sonsuz küçük olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Ancak fonksiyonlar ve türevlenebilirdir ve bu nedenle bir noktada süreklidir. Bu nedenle, eğer ve o zaman. Sonra ve saat.

Kısmi türevler noktada hesaplandığından,

biz belirtiriz

ve bu, değişkenlere göre türevlenebilir olduğu anlamına gelir ve ayrıca

Sonuç. Ayrıca, eğer, yani , sonra değişkene göre türev T formülle hesaplanır

eğer, o zaman

Son ifade denir toplam türev formülü birkaç değişkenli bir fonksiyon için.

Örnekler 1) Fonksiyonun toplam türevini bulun, burada,.

Çözüm.

2) Eğer, fonksiyonun toplam türevini bulun.

Çözüm.

Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kurallarını kullanarak, çok değişkenli bir fonksiyonun diferansiyelinin önemli bir özelliğini elde ederiz.

bağımsız ise fonksiyon değişkenleri, o zaman diferansiyel tanım gereğidir:

Şimdi argümanların değişkenlere göre fonksiyonun bir noktasında türevlenebilir fonksiyonlar olmasına izin verin ve fonksiyon değişkenlere göre türevlenebilir. O zaman değişkenlerin karmaşık bir fonksiyonu olarak görülebilir. Önceki teoreme göre türevlenebilir ve bağıntı

burada formüller (12) ile belirlenir. (12)'yi (17)'de yerine koyarsak ve katsayıları toplarsak, şunu elde ederiz:

Türevdeki katsayı, fonksiyonun diferansiyeline eşit olduğundan, karmaşık bir fonksiyonun diferansiyeli için yine formül (16) elde edilmiştir.

Bu nedenle, birinci diferansiyelin formülü, argümanlarının fonksiyon olup olmadığına veya bağımsız olup olmadığına bağlı değildir. Bu özellik denir birinci diferansiyelin formunun değişmezliği.

Taylor formülü (29) şeklinde de yazılabilir.

ƒ İki değişkenli bir fonksiyonun ispatını gerçekleştiriyoruz veya.

Önce tek değişkenli bir fonksiyona bakalım. Noktanın bir komşuluğunda türevlenebilir olsun. Lagrange formülünde kalanı olan bir değişkenli bir fonksiyon için Taylor formülü,

O halde bağımsız bir değişken olduğundan beri. Tek değişkenli bir fonksiyonun diferansiyel tanımı ile

Belirtilirse, (31) şeklinde yazılabilir.

Bazılarını düşünün - bir noktanın komşuluğu ve içindeki keyfi bir nokta ve noktaları ve düz bir çizginin bir parçasını birleştirin. Bu çizginin koordinatlarının ve noktalarının olduğu açıktır. doğrusal fonksiyonlar parametre.

Düz bir çizginin bir parçası üzerinde, bir fonksiyon, bir parametrenin karmaşık bir fonksiyonudur, çünkü. Ayrıca, Taylor formülü (32) için geçerlidir ve bu formüle göre kez türevlenebilirdir, burada, yani.

Formül (32)'deki diferansiyeller, karmaşık bir fonksiyonun diferansiyelleridir, burada,,, yani.

(33)'ü (32)'ye koyarsak ve bunu dikkate alarak,

(34)'teki son terim, aşağıdaki Taylor formülünün geri kalanı olarak adlandırılır. Lagrange formu

Teoremin koşulları altında fonksiyonun şu noktada türevlenebilir olduğunu ispatsız olarak not ediyoruz. m kez, sonra kalan yazılabilir fıstık formu:

Bölüm 7. Birkaç değişkenli fonksiyonlar

7.1. Uzay R n. Lineer uzayda kümeler.

Elemanlarının tümü olası sıralı kümeler olan bir küme n gösterilen ve çağrılan gerçek sayılar n-boyutlu aritmetik uzay ve sayı n aranan uzayın boyutu. Bir kümenin elemanına denir uzayda bir nokta veya bir vektör, ve sayılar koordinatlar bu nokta. Nokta = (0, 0, ... 0) denir sıfır veya orijin.

Uzay, bir gerçek sayılar kümesidir, yani. - sayı doğrusu; ve - sırasıyla iki boyutlu bir koordinat geometrik düzlemi ve üç boyutlu bir koordinat geometrik uzayı vardır. Vektörler,, ..., denir birim bazında.

İki eleman, bir küme için, elemanların toplamı ve bir elemanın gerçek bir sayı ile çarpımı kavramları tanımlanır:

Açıktır ki, bu tanım ve reel sayıların özelliklerinden dolayı aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

Bu özelliklerine göre uzay da denir. doğrusal (vektör) Uzay.

Doğrusal uzayda belirlenir skaler ürün elemanlar ve gerçek bir sayı olarak, aşağıdaki kurala göre hesaplanır:

numara aranır vektör uzunluğu veya norm... vektörler ve denir dikey, Eğer . Büyüklük

, )= │ - │ =

aranan elemanlar arasındaki mesafe ve .

Ayrıca sıfır olmayan vektörler ise, o zaman açı aralarındaki açıya öyle bir açı denir ki

Herhangi bir öğe ve gerçek bir sayı için nokta çarpımının karşılandığından emin olmak kolaydır:

Formül (1) ile tanımlanan bir skaler çarpımı olan doğrusal bir uzaya denir. Öklid uzayı.

Nokta ve olsun. Eşitsizliklerin tutulduğu tüm noktaların kümesi

aranan n -ölçülen küp kenarlı ve bir noktada ortalanmış. Örneğin, iki boyutlu bir küp, bir kenarı bir noktada ortalanmış bir karedir.

eşitsizliği sağlayan noktalar kümesine denir. n-top bir noktada ortalanmış yarıçap, aynı zamanda

- noktanın komşuluğu içinde ve belirtmek,

Böylece, tek boyutlu bir top bir uzunluk aralığıdır. iki boyutlu top

eşitsizliğin olduğu bir dairedir

tanım 1... küme denir sınırlı varsa
n bu seti içeren boyutlu bir toptur.

tanım 2... Doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlanan ve ait olduğu değerleri alan fonksiyona denir. sıra uzayda ve nerede belirtilir.

tanım 3... nokta denir sıra sınırı, keyfi bir pozitif sayı için eşitsizliğin herhangi bir sayı için geçerli olduğu bir doğal sayı varsa.

Sembolik olarak bu tanım şu şekilde yazılır:

atama:

Tanım 3'ten bunu takip eder, için. Bu sıra denir yakınsak NS .

Dizi herhangi bir noktaya yakınsamazsa, o zaman denir. sapma.

Teorem 1. Dizinin bir noktaya yakınsaması için, herhangi bir sayı için yerine getirilmesi gerekli ve yeterlidir, yani. böylece sıra ben- yakınsayan noktaların x koordinatları ben- noktanın inci koordinatı.

□ Kanıt eşitsizliklerden gelir

Sıra denir sınırlı değerlerinin kümesi sınırlıysa, yani.

Bir sayı dizisi gibi, yakınsak bir nokta dizisi sınırlıdır ve tek bir limiti vardır.

tanım 4... Sıra denir temel(Cauchy dizisi), herhangi bir pozitif sayı için, keyfi doğal sayılar ve büyük için tatmin edici olacak şekilde bir doğal sayı belirtilebilirse, yani.

Teorem 2(Cauchy kriteri). Bir dizinin yakınsak olması için temel olması gerekli ve yeterlidir.

□ Gereklilik. Bir noktada birleşmesine izin verin. Sonra yakınsayan bir dizi elde ederiz. ... ... , ..., X denir alan v. Eğer NS - bölge, daha sonra kapanması denir kapalı alan.

Takımlar x ve Y arandı ayrılabilir ikisi de diğerinin temas noktalarını içermiyorsa.

Bir çok NS arandı ciltli ayrılabilir iki kümenin birleşimi olarak gösterilemiyorsa.

Bir çok NS arandı dışbükey , iki noktasından herhangi biri, tamamıyla bu kümeye ait olan bir doğru parçası ile bağlanabiliyorsa.

Örnek. Yukarıda formüle edilen tanımlara dayanarak, şu söylenebilir:

- bağlı, doğrusal bağlı, açık, dışbükey olmayan küme, bir etki alanıdır.

- bağlı, doğrusal bağlı, keşfedilmemiş, dışbükey olmayan küme, bir etki alanı değil.

- bağlantısız, doğrusal olarak bağlı olmayan, açık, dışbükey olmayan bir küme, bir etki alanı değil.

- bağlantısız, doğrusal olarak bağlı olmayan, açık küme, bir etki alanı değil.

- bağlantılı, doğrusal bağlantılı, açık küme, bir etki alanıdır.

) gibi karmaşık fonksiyonların kısmi türevleriyle ve daha zor örneklerle defalarca karşılaştık. Peki başka ne anlatabilirsin?! ... Ve her şey hayattaki gibidir - karmaşık olamayacak kadar karmaşıklık yoktur =) Ama matematik - matematik bunun içindir, dünyamızın çeşitliliğini katı çerçevelere sığdırmak içindir. Ve bazen tek bir cümlede yapılabilir:

Genel durumda, karmaşık fonksiyon şu şekildedir: , nerede, en az bir harflerin işlev hangisine bağlı olabilir keyfi değişkenlerin sayısı.

En küçük ve en basit seçenek, tek değişkenli uzun zamandır bilinen karmaşık bir fonksiyondur. kimin türevi Geçen yarıyılda bulmayı öğrendik. Ayrıca işlevleri ayırt etme becerisine de sahipsiniz. (aynı işlevlere bir göz atın ) .

Böylece, şimdi sadece durumla ilgileneceğiz. Çok çeşitli karmaşık fonksiyonlar nedeniyle, türevlerinin genel formülleri çok hantal ve zayıf bir şekilde özümsenmiş bir forma sahiptir. Bu bağlamda, anlayabileceğiniz belirli örneklerle kendimi sınırlayacağım. Genel prensip bu türevleri bulma:

örnek 1

Karmaşık bir fonksiyon verilir, burada ... Gerekli:
1) türevini bulun ve 1. mertebenin toplam diferansiyelini yazın;
2) türevin değerini hesaplayın.

Çözüm: İlk olarak, fonksiyonun kendisiyle ilgilenelim. Bize ve bağlı olarak bir işlev sunulur, bu da sırayla fonksiyonlar bir değişken:

İkincisi, görevin kendisine çok dikkat edelim - bulmamız gerekiyor türev yani, bulmaya alıştığımız kısmi türevlerden bahsetmiyoruz! fonksiyon beri aslında sadece bir değişkene bağlıdır, o zaman "türev" kelimesi tam türev... Nasıl bulunur?

Akla gelen ilk şey, doğrudan ikame ve daha fazla farklılaşmadır. Yerine geçmek bir işleve:
, bundan sonra istenen türevle ilgili herhangi bir sorun yoktur:

Ve buna göre, tam diferansiyel:

Bu çözüm matematiksel olarak doğrudur, ancak küçük bir nüans, sorun olduğu gibi formüle edildiğinde kimsenin sizden böyle bir barbarlık beklememesidir =) Ama cidden, burada gerçekten hata bulabilirsiniz. Fonksiyonun yaban arısının uçuşunu tanımladığını ve iç içe geçmiş fonksiyonların sıcaklığa bağlı olarak değiştiğini hayal edin. İleri ikame yaparak , biz sadece özel bilgi, uçuşu karakterize eden, diyelim ki, sadece sıcak havalarda. Üstelik bombus arıları konusunda bilgili olmayan bir kişiye hazır bir sonuç sunulsa ve hatta bunun ne tür bir işlev olduğu söylense, o zaman uçuşun temel yasası hakkında hiçbir şey öğrenemez!

Böylece, beklenmedik bir şekilde, uğuldayan kardeşimiz evrensel formülün anlamını ve önemini fark etmeye yardımcı oldu:

Türevlerin "iki katlı" tanımlarına alışın - bu görevde kullanılırlar. Bu durumda biri olmalı çok temiz gösterimde: "de" doğrudan işaretli türevler tam türevler ve yuvarlak sembollü türevler kısmi türevler... İkincisiyle başlayalım:

Genel olarak "kuyruklar" ile her şey basit:

Bulunan türevleri formülümüzde yerine koyalım:

Bir fonksiyon başlangıçta karmaşık bir şekilde önerildiğinde, mantıklı olacaktır. (ve bu yukarıda açıklanmıştır!) sonuçları aynı biçimde bırakın:

Aynı zamanda, "süslü" cevaplarda en küçük basitleştirmelerden bile kaçınmak daha iyidir. (burada örneğin 3 eksi kaldırmak için yalvarıyor)- ve daha az işiniz var ve tüylü bir arkadaşınız görevi daha kolay gözden geçirmekten mutlu.

Ancak, kaba bir kontrol gereksiz olmayacaktır. Yerine geçmek bulunan türevine dönüştürün ve basitleştirin:


(son adımda kullandığımız trigonometrik formüller , )

Sonuç olarak, “barbarca” çözüm yöntemiyle aynı sonuç elde edildi.

noktasında türevi hesaplayalım. İlk olarak, "transit" değerlerini bulmak uygundur. (fonksiyon değerleri ) :

Şimdi, bu durumda farklı şekillerde yapılabilecek son hesaplamaları yapıyoruz. 3. ve 4. "katların" olağan kurallara göre basitleştirilmediği, ancak iki sayının bir bölümü olarak dönüştürüldüğü ilginç bir teknik kullanıyorum:

Ve elbette, daha kompakt bir kaydı kontrol etmemek günahtır. :

Cevap:

Sorunun "yarı genel" bir biçimde önerildiği görülür:

“Fonksiyonun türevini bulun, burada »

Yani, "ana" işlev verilmemiştir, ancak "insertleri" oldukça spesifiktir. Cevap aynı tarzda verilmelidir:

Ayrıca, durum biraz şifrelenebilir:

"Fonksiyonun türevini bulun »

Bu durumda, ihtiyacınız kendi başına iç içe geçmiş işlevleri bazı uygun harflerle belirtir, örneğin ve aynı formülü kullanın:

Bu arada, harf atamaları hakkında. Can simidi olarak "harflere sarılmamaya" defalarca ısrar ettim ve şimdi bu özellikle önemli! Konuyla ilgili çeşitli kaynakları inceledikten sonra, genellikle yazarların "çılgınlaştığı" ve acımasızca öğrencileri matematiğin fırtınalı uçurumuna atmaya başladığı izlenimini edindim =) O halde bağışlayın :))

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun , Eğer

Diğer tanımlamalar kafa karıştırıcı olmamalıdır! Böyle bir görevle her karşılaştığınızda, iki basit soruyu yanıtlamanız gerekir:

1) "Ana" işlev neye bağlıdır? Bu durumda, "z" işlevi iki işleve ("y" ve "ve") bağlıdır.

2) Yuvalanmış işlevler hangi değişkenlere bağlıdır? Bu durumda, her iki "insert" yalnızca "x"e bağlıdır.

Böylece formülü bu göreve uyarlamakta zorluk çekmemelisiniz!

Eğitimin sonunda kısa bir çözüm ve cevap.

İlk tip için ek örnekler şurada bulunabilir: Ryabushko'nun problem kitabı (IDZ 10.1), peki, biz gidiyoruz üç değişkenli fonksiyon:

Örnek 3

Nerede bir fonksiyon verilir.
Bir noktada türevi hesaplayın

Birçok kişinin tahmin ettiği gibi, karmaşık bir fonksiyonun türevi formülü, ilgili bir forma sahiptir:

Karar verin, bir kez tahmin edin =)

Her ihtimale karşı, işlev için genel bir formül vereceğim:
, pratikte Örnek 3'ten daha uzun bir şeyle karşılaşmanız olası değildir.

Ek olarak, bazen "soyulmuş" seçeneği - kural olarak, formun bir işlevi olarak - ayırt etmek gerekir. Bu soruyu kendi başınıza çalışmanız için bırakıyorum - bazı basit örnekler düşünün, düşünün, deneyin ve türevler için kısaltılmış formüller türeyin.

Bir şey yanlış anlaşılmaya devam ederse, lütfen dersin ilk bölümünü yavaşça tekrar okuyun ve anlayın, çünkü şimdi görev daha karmaşık hale gelecektir:

Örnek 4

Karmaşık bir fonksiyonun kısmi türevlerini bulun, burada

Çözüm: bu fonksiyon forma sahiptir ve doğrudan ikameden sonra iki değişkenin olağan işlevini elde ederiz:

Ama böyle bir korku kabul edilmeyen bir şey değil, artık farklılaşmak da istemiyor =) O yüzden hazır formüller kullanacağız. Modeli daha hızlı kavramanıza yardımcı olmak için bazı notlar alacağım:

Yukarıdan aşağıya ve soldan sağa dikkatlice bakın….

İlk olarak, "ana" fonksiyonun kısmi türevlerini bulalım:

Şimdi "eklerin" "x" türevlerini buluyoruz:

ve son "x" türevini yazın:

Aynı şekilde "oyun" ile:

ve

Ayrıca başka bir stile bağlı kalabilirsiniz - tüm "kuyrukları" bir kerede bulun ve sonra her iki türevi de yazın.

Cevap:

ikame hakkında nedense hiç düşünmüyorum =) =), ancak sonuçları biraz tarayabilirsiniz. Yine de, neden? - sadece öğretmen için testi karmaşıklaştırın.

Gerekirse, o zaman tam diferansiyel burada her zamanki formüle göre yazılmıştır ve bu arada, sadece bu adım hafif kozmetikler uygun hale gelir:


Yani ... .... tekerlekli bir tabut.

Düşünülen karmaşık fonksiyon türünün popülaritesi nedeniyle, bir çift görev bağımsız karar... "Yarı genel" formda daha basit bir örnek - formülün kendisini anlamak için ;-):

Örnek 5

Fonksiyonun kısmi türevlerini bulun, burada

Ve daha zor - farklılaşma tekniğinin bağlantısıyla:

Örnek 6

Bir Fonksiyonun Toplam Diferansiyelini Bulun , nerede

Hayır, kesinlikle "seni dibe göndermeye" çalışmıyorum - tüm örnekler gerçek çalışmalardan alınmıştır ve "açık denizlerde" istediğiniz herhangi bir harfe rastlayabilirsiniz. Her durumda, işlevi ayrıştırmanız gerekir (2 soruyu yanıtlayarak - yukarıya bakın), gönder Genel görünüm ve kısmi türev formüllerini dikkatlice değiştirin. Belki şimdi biraz kafanız karışacak, ancak yapılarının prensibini anlayacaksınız! Çünkü asıl görevler daha yeni başlıyor :)))

Örnek 7

Kısmi türevleri bulun ve karmaşık bir fonksiyonun toplam diferansiyelini oluşturun
, nerede

Çözüm: "Ana" işlevi bir forma sahiptir ve yine de iki değişkene bağlıdır - "x" ve "oyun". Ancak Örnek 4 ile karşılaştırıldığında, bir iç içe işlev daha eklenmiştir ve bu nedenle kısmi diferansiyel formüller de uzatılmıştır. Bu örnekte olduğu gibi, örüntünün daha iyi görselleştirilmesi için "ana" kısmi türevleri farklı renklerde vurgulayacağım:

Ve yine - girişi yukarıdan aşağıya ve soldan sağa dikkatlice inceleyin.

Problem "yarı-genel" bir biçimde formüle edildiğinden, tüm çalışmalarımız esasen gömülü fonksiyonların kısmi türevlerini bulmakla sınırlıdır:

Birinci sınıf öğrencisi başa çıkacak:

Ve tam diferansiyelin bile oldukça hoş olduğu ortaya çıktı:

Size kasıtlı olarak belirli bir işlev sunmaya başlamadım - böylece gereksiz yığınlar iyi bir anlayışa engel olmaz. şematik diyagram görevler.

Cevap:

Oldukça sık "farklı boyutlu" ekler bulabilirsiniz, örneğin:

Burada "ana" işlev, forma sahip olmasına rağmen, yine de hem "x"e hem de "oyuna" bağlıdır. Bu nedenle, aynı formüller çalışır - sadece bazı kısmi türevler sıfıra eşit olacaktır. Ayrıca, bu aynı zamanda gibi işlevler için de geçerlidir. , burada her "insert" bir değişkene bağlıdır.

Dersin son iki örneğinde de benzer bir durum söz konusudur:

Örnek 8

Bir Kompozit Fonksiyonun Bir Noktadaki Toplam Diferansiyelini Bulun

Çözüm: koşul "bütçe" biçiminde formüle edilmiştir ve iç içe geçmiş işlevleri kendimiz belirlememiz gerekir. Bence kötü bir seçenek değil:

"Ekler" şunları içerir ( DİKKAT!) ÜÇ harf eski güzel "X-Y-Y-Z" dir, bu da "ana" fonksiyonun aslında üç değişkene bağlı olduğu anlamına gelir. Formda resmen yeniden yazılabilir ve bu durumda kısmi türevler aşağıdaki formüllerle belirlenir:

Tararız, nüfuz ederiz, yakalarız….

Görevimizde:

z = ƒ (x; y), her biri bağımsız değişken t'nin bir fonksiyonu olan iki değişken x ve y'nin bir fonksiyonu olsun: x = x (t), y = y (t). Bu durumda, z = f (x (t); y (t)) işlevi, bir bağımsız değişken t'nin karmaşık bir işlevidir; değişkenler x ve y ara değişkenlerdir.

Teorem 44.4. Eğer z = ƒ (x; y), M (x; y) є D noktasında türevlenebilir bir fonksiyon ise ve x = x (t) ve y = y (t), bağımsız değişken t'nin türevlenebilir fonksiyonlarıysa, türev bileşik fonksiyonun z (t ) = f (x (t); y (t)) formülü ile hesaplanır

Bağımsız değişken t'ye Δt artışını verelim. Daha sonra x = = x (t) ve y = y (t) fonksiyonları sırasıyla Δх ve Δу artışlarını alacaktır. Bunlar da z fonksiyonunun Az artışına neden olacaktır.

Hipotez yoluyla, z - (x; y) işlevi M (x; y) noktasında türevlenebilir olduğundan, toplam artışı şu şekilde temsil edilebilir:

burada a → 0, β → 0, Δх → 0, Δу → 0 olarak (bkz. madde 44.3). Δz ifadesini Δt'ye bölelim ve Δt → 0 olarak limite geçelim. Sonra Δх → 0 ve Δу → 0, x = x (t) ve y = y (t) fonksiyonlarının sürekliliği nedeniyle (teoremin hipotezi ile türevlenebilirler). Alırız:

Özel bir durum: z = ƒ (x; y), burada y = y (x), yani z = ƒ (x; y (x)) bir bağımsız değişken x'in karmaşık bir fonksiyonudur. Bu durum bir öncekine indirgenir ve t değişkeninin rolü x tarafından oynanır. (44.8) formülüne göre:

Formül (44.9), toplam türev için formül olarak adlandırılır.

Genel durum: z = ƒ (x; y), burada x = x (u; v), y = y (u; v). O halde z = f (x (u; v); y (u; v)), u ve v bağımsız değişkenlerinin karmaşık bir fonksiyonudur. Kısmi türevleri (44.8) formülü kullanılarak aşağıdaki gibi bulunabilir. V'yi sabitleyerek, onu karşılık gelen kısmi türevlerle değiştiririz

Benzer şekilde, şunu elde ederiz:

Böylece, karmaşık bir fonksiyonun (z) her bağımsız değişkene (u ve v) göre türevi, bu fonksiyonun (z) kısmi türevlerinin ara değişkenlerine (x ve y) göre ürünlerinin toplamına eşittir. ) karşılık gelen bağımsız değişkene (u ve v) göre türevleri ile.

Örnek 44.5. z = ln (x 2 + y 2), x = u v, y = u / v olup olmadığını bulun.

Çözüm: Formül (44.10) kullanarak dz / du (dz / dv - bağımsız olarak) bulun:

Elde edilen eşitliğin sağ tarafını sadeleştirin:

40. Birkaç değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevleri ve toplam diferansiyeli.

z = ƒ (x; y) fonksiyonu verilsin. x ve y bağımsız değişkenler olduğundan biri değişebilirken diğeri değerini korur. Bağımsız değişken x'e, y'nin değerini değiştirmeden Δx'lik bir artış verelim. Daha sonra z, x'deki z'nin kısmi artışı olarak adlandırılan ve ∆ x z ile gösterilen bir artış alacaktır. Yani,

Δ x z = ƒ (x + Δx; y) -ƒ (x; y).

Benzer şekilde, z'nin y'ye göre kısmi artışını elde ederiz:

Δ y z = ƒ (x; y + Δy) -ƒ (x; y).

z fonksiyonunun toplam artışı Δz eşitlik ile belirlenir

Δz = ƒ (x + Δx; y + Δy) - ƒ (x; y).

bir sınır varsa

daha sonra buna z = ƒ (x; y) fonksiyonunun M (x; y) noktasında x değişkenine göre kısmi türevi denir ve sembollerden biri ile gösterilir:

M 0 (x 0; y 0) noktasında x'e göre kısmi türevler genellikle sembollerle gösterilir

z = ƒ (x; y)'nin y değişkenine göre kısmi türevi benzer şekilde tanımlanır ve gösterilir:

Böylece, birkaç (iki, üç veya daha fazla) değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevi, kalan bağımsız değişkenlerin değerlerinin sabit olması koşuluyla, bu değişkenlerden birinin bir fonksiyonunun türevi olarak tanımlanır. Bu nedenle, ƒ (x; y) fonksiyonunun kısmi türevleri, bir değişkenli bir fonksiyonun türevlerini hesaplamak için formüller ve kurallar tarafından bulunur (bu durumda sırasıyla x veya y bir sabit olarak kabul edilir).

Örnek 44.1. z = 2y + e x2-y +1 fonksiyonunun kısmi türevlerini bulun. Çözüm:

İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerinin geometrik anlamı

z = ƒ (x; y) fonksiyonunun grafiği bir yüzeydir (bkz. Alt Bölüm 12.1). z = ƒ (x; y 0) fonksiyonunun grafiği, bu yüzeyin y = y o düzlemiyle kesişme çizgisidir. Tek değişkenli bir fonksiyon için türevin geometrik anlamına dayanarak (bkz. Bölüm 20.2), ƒ "x (xo; yo) = tan a olduğu sonucuna varırız, burada a, Ox ekseni ile teğet arasındaki açıdır. Mo (xo; yo; ƒ (xo; yo)) noktasında z = ƒ (x; y 0) eğrisi (bkz. Şekil 208).

Benzer şekilde, f "y (x 0; y 0) = tanβ.

Toplam artışı ΔZ, Δz = A ∙ Δx + B ∙ Δy + ω (Δx, Δy) olarak gösterilebiliyorsa, bir Z = f (x, y) işlevine P (x, y) noktasında türevlenebilir denir, burada Δx ve Δy - P, A ve B noktasının bazı komşuluklarında karşılık gelen x ve y argümanlarının herhangi bir artışı sabittir (Δx, Δy'ye bağlı değildir),

ω (Δx, Δy) - mesafeden daha yüksek bir mertebeden sonsuz küçük:

Bir fonksiyon bir noktada türevlenebilirse, bu noktadaki toplam artışı iki kısımdan oluşur:

1. A ∙ Δx + B ∙ Δy fonksiyonunun artışının ana kısmı - Δx, Δy'ye göre doğrusal

2. Ve doğrusal olmayan ω (Δx, Δy) - artışın ana bölümünden daha yüksek bir derecenin sonsuz küçüklüğü.

Bir fonksiyonun artışının ana kısmı Δx'e göre doğrusaldır, Δy bu fonksiyonun toplam diferansiyeli olarak adlandırılır ve şu şekilde gösterilir:Δz = A ∙ Δx + B ∙ Δy, Δx = dx ve Δy = dy veya iki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyeli:

Ekran diferansiyeli. Tek değişkenli sayısal bir fonksiyonun diferansiyel ve türevi. Türev tablosu. farklılaştırılabilirlik. ) → 0 olarak sonsuz küçük bir argüman işlevidir, yani.

Şimdi bir noktada türevlenebilirlik ile aynı noktada bir türevin varlığı arasındaki bağlantıyı açıklığa kavuşturalım.

teorem. Fonksiyon için F(x) bu noktada türevlenebilirdi NS , bu noktada sonlu bir türevinin olması gerekli ve yeterlidir.

Türev tablosu.